EQUAÇÃO GERAL DE GRACELI.

 G ψ = E ψ = Eψ ω Mom=   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

Na física quântica, a amplitude de dispersão é a amplitude de probabilidade da saída onda esférica^[1] em relação à onda plana de entrada no processo de dispersão do estado estacionário^[2] .

Este processo de dispersão é descrito pela seguinte função de onda

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}\;,}$ /

G ψ = E ψ = Eψ ω Mom=   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

onde ${\displaystyle \mathbf {r} \equiv (x,y,z)}$ é o vetor de posição; ${\displaystyle r\equiv |\mathbf {r} |}$; ${\displaystyle e^{ikz}}$ é a onda plana de entrada com o número de onda k ao longo do eixo z; ${\displaystyle e^{ikr}/r}$ é a onda esférica de saída; θé o ângulo de dispersão; e ${\displaystyle f(\theta )}$ é a amplitude de espalhamento. A dimensão da amplitude de dispersão é o comprimento.

A amplitude de dispersão é uma amplitude de probabilidade; a secção transversal do diferencial como uma função de ângulo de dispersão é dado como o seu módulo quadrado^[3],

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta )|^{2}\;.}$ /

G ψ = E ψ = Eψ ω Mom=   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

A quantização de Landau na mecânica quântica é a quantização das órbitas cíclotron de partículas carregadas em campos magnéticos. Como resultado, as partículas carregadas somente podem ocupar órbitas com valores de energia discretos, denominados níveis de Landau.^[1] Os níveis de Landau são degenerados, com o número de elétrons por nível diretamente proporcional à intensidade do campo magnético aplicado. A quantização de Landau é diretamente responsável por oscilações nas propriedades eletrônicas de materiais em função do campo magnético aplicado. Esta quantização leva o nome do o físico soviético Lev Landau.^[2]

Dedução

Considere um sistema em duas dimensões de partículas não-interagentes com carga q e spin S confinadas em uma área A = L_xL_y no plano xy.

Aplica-se um campo magnético uniforme ${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}}$ ao longo do eixo z. Em unidades CGS, o hamiltoniano do sistema é

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}({\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}/c)^{2}.}$ /

G ψ = E ψ = Eψ ω Mom=   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

Aqui p̂ é o operador momento canônico e Â é o potencial vetor eletromagnético, o qual é relacionado ao campo magnético por

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times {\hat {\mathbf {A} }}.\,}$ /

G ψ = E ψ = Eψ ω Mom=   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

Existe uma liberdade na escolha do calibre para o potencial vetor para um dado campo magnético. O hamiltoniano é invariante sob o calibre, o que significa que a adição do gradiente de um campo escalar ao A altera a fase global da função de onda por um valor correspondente ao campo escalar. Porém as propriedades físicas não são influenciadas pela escolha específica do calibre. Para simplificar os cálculos, vamos adotar o calibre de Landau, o qual diz que

${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}={\begin{pmatrix}0\\Bx\\0\end{pmatrix}}.}$ /

G ψ = E ψ = Eψ ω Mom=   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

onde B=|B| e x̂ é a componente x do operador posição.

Neste calibre, o hamiltoniano passa a ser escrito como

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2m}}\left({\hat {p}}_{y}-{\frac {qB{\hat {x}}}{c}}\right)^{2}.}$ /

G ψ = E ψ = Eψ ω Mom=   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

O operador ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$ comuta com este hamiltoniano, desde que o operador ŷ desaparece após a escolha do calibre. Então o operador ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$ pode ser substituído pelo seu autovalor hk_y .

O hamiltoniano também pode ser escrito em uma maneira mais simples após notar que a frequência de cíclotron é ω_c = qB/mc, assim

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{c}^{2}\left({\hat {x}}-{\frac {\hbar k_{y}}{m\omega _{c}}}\right)^{2}.}$ /

G ψ = E ψ = Eψ ω Mom=   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

Este é exatamente o hamiltoniano do oscilador harmônico quântico, exceto com o mínimo do potencial deslocado na coordenada espacial por

x₀ = hk_y/m?_c . /G ψ = E ψ = Eψ ω Mom=   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

Para encontrar as energias, note que ao transladar o potencial do oscilador harmônico as energias não são alteradas. As energias do sistema são idênticas aquelas padrão do oscilador harmônico quântico,

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),\quad n\geq 0~.}$ /

G ψ = E ψ = Eψ ω Mom=   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

A energia não depende do número quântico k_y, então haverá degenerescência.

Para as funções de ondas, recordamos que ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$ comuta com o hamiltoniano. Então a função de onda é dada pelo produto entre os autoestados do momento na direção y e os autoestados do oscilador harmônico ${\displaystyle |\phi _{n}\rangle }$ deslocados por um fator x₀ na direção x:

${\displaystyle \Psi (x,y)=e^{ik_{y}y}\phi _{n}(x-x_{0})~.}$ /

G ψ = E ψ = Eψ ω Mom=   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

Em suma, o estado do elétron é caracterizado por dois números quânticos, n e k_y .

Níveis de Landau

Cada conjunto de funções de onda com o mesmo valor de n é chamado de nível de Landau. Efeitos dos níveis de Landau são observados somente quando a energia térmica média é menor do que a separação entre os níveis de Landau, kT ≪ ħω_c, o que significa que o sistema tem que estar definido a baixas temperaturas e campos magnéticos intensos. Cada nível de Landau é degenerado devido ao segundo número quântico k_y, o qual pode assumir valores

${\displaystyle k_{y}={\frac {2\pi N}{L_{y}}}}$, /

G ψ = E ψ = Eψ ω Mom=   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

onde N é um inteiro. Os valores permitidos para N são restritos pela condição de que o centro da força do oscilador, x₀, deve fisicamente ser definida dentro do sistema . Isto leva ao seguinte alcance para N,

${\displaystyle 0\leq N<{\frac {m\omega _{c}L_{x}L_{y}}{2\pi \hbar }}.}$ /

G ψ = E ψ = Eψ ω Mom=   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

Para partículas com carga q = Ze, o limite superior de N pode ser escrito de maneira mais simples como razão dos fluxos magnéticos,

${\displaystyle {\frac {ZBL_{x}L_{y}}{(hc/e)}}=Z{\frac {\Phi }{\Phi _{0}}},}$ /

G ψ = E ψ = Eψ ω Mom=   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

onde F₀ = h/2e o fluxo magnético quântico fundamental e F = BA é o fluxo através do sistema (com área A = L_xL_y).

Então, para partículas com spin S, o número máximo D de partículas por nível de Landau é

${\displaystyle D=Z(2S+1){\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}~.}$ /

G ψ = E ψ = Eψ ω Mom=   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

Os resultados acima informam apenas uma ideia aproximada dos efeitos de um sistema que é definido dentro de um espaço finito. Falando estritamente, a utilização da solução padrão do oscilador harmônico é apenas válida para sistemas sem limitações na direção -x. Se o tamanho L_x é finito, as condições de fronteiras nesta direção dão origem as condições de quantização não-padrão sobre o campo magnético, envolvendo (a princípio) ambas as soluções da equação de Hermite. O enchimento destes níveis com muitos elétrons ainda é ^[3] uma área de pesquisa muito ativa. Em geral, os níveis de Landau são observados em sistemas eletrônicos, onde Z=1 and S=1/2. Enquanto o campo magnético aumenta, mais e mais elétrons preenchem cada nível de Landau. A ocupação do nível de Landau mais energético varia de completamente preenchido a completamente vazio, resultando em oscilações da suscetibilidade magnética em função da intensidade do campo magnético (ver efeito de Haas–van Alphen e Shubnikov–de Haas effect).

Se o efeito Zeeman é considerado, cada nível de Landau é dividido em um par, um para o spin up do elétron e outro para spin down do elétron. Então a ocupação de cada spin no nível de Landau é apenas a razão entre os fluxos D = F/F₀. O efeito Zeeman tem efeito significativo nos níveis de Landau já que suas escalas de energia são as mesmas, 2μ_BB = ħω . Entretanto, a energia de Fermi e a energia do estado fundamental se mantém mais ou menos da mesma forma do que em um sistema com muitos níveis cheios, uma vez que os pares divididos dos níveis de energia cancelam um ao outro quando somados.

O efeito Hall quântico, também chamado de efeito Hall quântico inteiro, é uma versão do efeito Hall em mecânica quântica, observado em sistemas bidimensionais de elétrons^{[nota 1] [1][2]} submetidos a baixas temperaturas e fortes campos magnéticos, em que a condutividade Hall ${\displaystyle \sigma }$ sofre certas transições quânticas para assumir valores quantizados:

${\displaystyle \sigma ={\frac {I_{\text{canal}}}{V_{\text{Hall}}}}=\nu \;{\frac {e^{2}}{h}}.}$ /

G ψ = E ψ = Eψ ω Mom=   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

Nessa expressão ${\displaystyle I_{\text{canal}}}$ é o canal, ${\displaystyle V_{\text{Hall}}}$ é a tensão de Hall, ${\displaystyle e}$ é a carga do elétron e ${\displaystyle h}$ é a constante de Planck.^[3]

Notas

Conexão com a simetria do estado quântico

O princípio de exclusão de Pauli pode ser deduzido a partir da hipótese de que um sistema de partículas só pode ocupar estados quânticos anti-simétricos. De acordo com o teorema spin-estatística, sistemas de partículas idênticas de spin inteiro ocupam estados simétricos, enquanto sistemas de partículas de spin semi-inteiro ocupam estados anti-simétricos; além disso, apenas valores de spin inteiros ou semi-inteiros são permitidos pelos princípio da mecânica quântica.

Como discutido no artigo sobre partículas idênticas, um estado anti-simétrico no qual uma das partículas está no estado ${\displaystyle \left|\psi _{1}\right\rangle }$ (nota) enquanto a outra está no estado ${\displaystyle \left|\psi _{2}\right\rangle }$ é

${\displaystyle |\psi _{1},\psi _{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}|\psi _{1}\rangle |\psi _{2}\rangle -|\psi _{2}\rangle |\psi _{1}\rangle {\Big )}.}$ /

G ψ = E ψ = Eψ ω Mom=   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

No entanto, se ${\displaystyle \left|\psi _{1}\right\rangle }$ e ${\displaystyle \left|\psi _{2}\right\rangle }$ são exatamente o mesmo estado, a expressão acima é identicamente nula:

${\displaystyle |\psi _{1},\psi _{2}\rangle =0.}$ /

G ψ = E ψ = Eψ ω Mom=   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

Isto não representa um estado quântico válido, porque vetores de estado que representem estados quânticos têm obrigatoriamente que ser normalizáveis, isto é devem ter norma finita. Em outras palavras, nunca poderemos encontrar as partículas que formam o sistema ocupando um mesmo estado quântico.