EQUAÇÃO GERAL DE GRACELI.

 G ψ = E ψ = E [G+ψ ω /c] =   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

MECÂNICA GRACELI - FÓTON-MAGNÉTICO DINÂMICA QUÂNTICA RELATIVISTA.

 [G+ψ ω  / c]

 TENSOR G+ GRACELI, SDCTIE GRACELI, DENSIDADE DE CARGA E DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIA, NÚMERO E ESTADO QUÂNTICO. + POTENCIAL DE SALTO QUÂNTICO RELATIVO AOS ELEMENTOS QUÍMICO COM O SEU RESPECTIVO  E ESPECÍFICO NÍVEL DE ENERGIA.

ONDE A CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA TAMBÉM PASSA A SER DIMENSÕES FÍSICO-QUÍMICA DE GRACELI.

Tabela dos termos usados

A tabela a seguir fornece o significado de cada símbolo e da unidade SI de medida

Definições e unidades

Símbolo	Significado (o primeiro termo é o mais comum)	Unidade SI de medida
${\displaystyle \mathbf {E} \ }$	Campo elétrico Também chamado de intensidade de campo elétrico	volt por metro newton por coulomb
${\displaystyle \mathbf {B} \ }$	Campo magnético Também chamado de indução magnética Densidade de campo magnético Densidade de fluxo magnético	tesla weber por metro quadrado, volt-segundo por metro quadrado
${\displaystyle \mathbf {D} \ }$	Campo de deslocamento elétrico Também chamado de indução elétrica Densidade de fluxo elétrico	coulomb por metro quadrado newton por volt-metro
${\displaystyle \mathbf {H} \ }$	Campo magnetizante Também chamado de campo magnético auxiliar Intensidade de campo magnético Campo magnético	ampère por metro
${\displaystyle \mathbf {\nabla \cdot } }$	Operador divergência	"por metro"
${\displaystyle \mathbf {\nabla \times } }$	Operador rotacional
${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$	Derivada parcial com respeito ao tempo	"por segundo" hertz
${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {A} }$	Elemento vetoral diferencial da superfície "A", com magnitude infinitesimalmente pequena e direção normal à superfície "S"	metro quadrado
${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {l} }$	Elemento vetorial diferencial do comprimento tangencial à curva	metro
${\displaystyle \varepsilon _{0}\ }$	Permissividade do vácuo, também chamada de constante elétrica, uma constante universal	farad por metro coulomb ao quadrado por newton metro quadrado
${\displaystyle \mu _{0}\ }$	Permeabilidade do vácuo, também chamada de constante magnética, uma constante universal	henry por metro newton por ampère ao quadrado
${\displaystyle \ \rho _{f}\ }$	Densidade de carga livre (cargas ligadas)	coulomb por metro cúbico
${\displaystyle \ \rho \ }$	Densidade de carga total (incluindo cargas livres e ligadas)	coulomb por metro cúbico
${\displaystyle \mathbf {J} _{f}}$	Densidade de corrente livre (não incluindo correntes ligadas)	ampère por metro quadrado
${\displaystyle \mathbf {J} }$	Densidade de corrente total (incluindo correntes livres e ligadas)	ampère por metro quadrado
${\displaystyle \,Q_{f}(V)}$	Rede de cargas elétricas livres dentro de um volume tridimensionalV (não incluindo cargas ligadas)	coulomb
${\displaystyle \,Q(V)}$	Rede de cargas elétricas ligadas a um volume tridimensionalV (incluindo cargas livres e ligadas)	coulomb
${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }$	Integral de linha ao longo da fronteira ∂S de uma superfície S (∂S é sempre uma curva fechada - sem início nem fim).	joule por coulomb
${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }$	Integral de linha do campo magnético sobre a fronteira fechada ∂S da superfície S	tesla-metro
${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$	O fluxo elétrico (integral de superfície do campo elétrico) por meio da superfície fechada ${\displaystyle \partial V}$ (a fronteira do volume V)	joule-metro por coulomb
${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {B} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$	O fluxo magnético (Integral de superfície do campo magnético) por meio da superfície fechada ${\displaystyle \partial V}$ (a fronteira do volume V)	tesla-metro-quadrado ou weber
${\displaystyle \iint _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\Phi _{B,S}}$	Fluxo magnético através de qualquer superfície S, não sendo necessariamente uma superfície fechada	weber ou volt-segundo
${\displaystyle \iint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\Phi _{E,S}}$	Fluxo elétrico através de qualquer superfície S, não sendo necesariamente fechada	joule-metro por coulomb
${\displaystyle \iint _{S}\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\Phi _{D,S}}$	Fluxo de campo de deslocamento elétrico através de qualquer superfície S, não sendo necessariamente fechada	coulomb
${\displaystyle \iint _{S}\mathbf {J} _{f}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =I_{f,s}}$	Rede de corrente elétrica livre passando através da superfície S (não incluindo correntes ligadas)	ampère
${\displaystyle \iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =I_{S}}$	Rede de corrente elétrica passando através da superfície S (incluindo correntes livres e ligadas)	ampère

Formulação em unidades SI

Nome	Equações integrais	Equações diferenciais
Lei de Gauss	${\displaystyle {\delta \Omega }}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\iiint _{\Omega }\rho dV}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$/ [G+ψ ω  / c]
Lei de Gauss para o magnetismo	${\displaystyle {\delta \Omega }}$ ${\displaystyle \mathbf {B} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$/ [G+ψ ω  / c]
Lei da Faraday de indução	${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$/ [G+ψ ω  / c]
Lei circular de Ampère com adição de Maxwell	${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }&\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\\&\mu _{0}\left(\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +\varepsilon _{0}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \right)\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)}$/ [G+ψ ω  / c]

Formulação em unidades gaussianas

As definições de carga, campo elétrico e campo magnético podem ser alteradas para simplificar o cálculo teórico, absorvendo fatores dimensionados de ${\displaystyle \varepsilon _{0}\ \ e\ \ c}$ nas unidades de cálculo, por convenção. Com uma mudança correspondente na convenção para a lei de força de Lorentz, isto produz a mesma física, isto é, trajetórias de partículas carregadas, ou trabalho feito por um motor elétrico. Estas definições são frequentemente preferidas na física teórica e de alta energia onde é natural tomar o campo elétrico e magnético com as mesmas unidades, para simplificar a aparência do tensor eletromagnético: o objeto covariante de Lorentz unificando campo elétrico e magnético então conteria componentes com unidade e dimensão uniformes:^[6] Essas definições modificadas são convencionalmente utilizadas com as unidades gaussianas (CGS). Usando essas definições e convenções, coloquialmente "em unidades gaussianas",^[7] as equações de Maxwell se tornam

Nome	Equações integrais	Equações diferenciais
Lei de Gauss	${\displaystyle {\delta \Omega }}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =4\pi \iiint _{\Omega }\rho dV}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho }$/ [G+ψ ω  / c]
Lei de Gauss para o magnetismo	${\displaystyle {\delta \Omega }}$ ${\displaystyle \mathbf {B} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$/ [G+ψ ω  / c]
Lei da Faraday de indução	${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$/ [G+ψ ω  / c]
Lei circular de Ampère com adição de Maxwell	${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }&\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\\&{\frac {1}{c}}\left(4\pi \iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +{\frac {\mathrel {\mathrm {d} }}{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)}$/ [G+ψ ω  / c]

Note-se que as equações são particularmente legíveis quando o comprimento e o tempo são medidos em unidades compatíveis como segundos e segundos-luz, isto é, em unidades tais que c = 1 unidade de comprimento / unidade de tempo. Desde 1983, os medidores e segundos são compatíveis, exceto pelo legado histórico, pois, por definição, c = 299 792 458 m / s (≈ 1,0 pés / nanossegundo).

Mudanças cosméticas adicionais, chamadas de racionalizações, são possíveis por fatores absorventes de 4π, dependendo se queremos que a lei de Coulomb ou a lei de Gauss se saiam bem, veja unidades de Lorentz-Heaviside (usadas principalmente na física de partículas). Na física teórica, muitas vezes é útil escolher unidades tais que a constante de Planck, a carga elementar e até mesmo a constante de Newton sejam 1.

Relação entre formulações integrais e diferenciais

A equivalência das formulações integrais e diferenciais é consequência do Teorema da Divergência e do Teorema de Kelvin-Stokes.

Fluxo e divergência

Volume Ω e sua superfície de contorno ∂Ω contendo (respectivamente incluindo) uma fonte (+) e um dissipador (-) de um campo vetorial F. Aqui, F poderia ser o campo E com cargas elétricas de origem, mas não o campo B, que não tem carga magnética como mostrado. A normal orientada para fora é n.

De acordo com o (puramente matemático) teorema de divergência de Gauss, o fluxo elétrico através da superfície de contorno ∂Ω pode ser reescrito como:

${\displaystyle {\partial \Omega }}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\nabla \cdot E\,dV}$/ [G+ψ ω  / c]

A versão integral da equação de Gauss pode ser reescrita como:

${\displaystyle \iiint _{\Omega }{\bigg (}\nabla \cdot E-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}{\bigg )}\,dV=0}$/ [G+ψ ω  / c]

Como Ω é arbitrário (por exemplo, uma pequena bola arbitrária com centro arbitrário), isso é satisfeito se e somente se, o integrando for zero. Esta é a formulação de equações diferenciais da equação de Gauss até um rearranjo trivial.

Da mesma forma, reescrever o fluxo magnético na lei de Gauss para o magnetismo em forma integral dá:

${\displaystyle {\partial \Omega }}$ ${\displaystyle \mathbf {B} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\nabla \cdot E\,dV=0}$/ [G+ψ ω  / c]

que é satisfeito por

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0.}$/ [G+ψ ω  / c]

Circulação e rotacional

Superfície Σ com curva de controle fechada ∂Σ. F poderia ser os campos E ou B. Mais uma vez, n é a normal. (O rotacional de um campo vetorial não se parece literalmente com as "circulações", isso é uma representação heurística.)

Pelo teorema de Stokes podemos reescrever as integrais de linha dos campos ao redor da curva de controle fechada ∂Σ para uma integral da "circulação dos campos" (ou seja, seus rotacionais) sobre uma superfície que ela delimita, ou seja,

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$/ [G+ψ ω  / c]

Assim, a lei Ampere modificada na forma integral pode ser reescrita como

${\displaystyle \iint _{\Sigma }\left(\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0.}$/ [G+ψ ω  / c]

Como Σ pode ser escolhido arbitrariamente, por ex. como um disco arbitrariamente pequeno, arbitrariamente orientado, e arbitrariamente centrado, podemos concluir que o integrando é zero se e somente se, a lei modificada de Ampère na forma de equações diferenciais for satisfeita. A equivalência da lei de Faraday na forma diferencial e integral segue da mesma forma.

As integrais de linha e rotacionais são análogos às grandezas na dinâmica clássica de fluidos: a circulação de um fluido é a integral da linha do campo de velocidade de fluxo do fluido em torno de um circuito fechado, e a vorticidade do fluido é o rotacional do campo de velocidade.

Sumário de equações

As equações de Maxwell variam conforme o sistema de unidades usado. Embora a forma geral permaneça, várias definições são alteradas e diferentes constantes aparecem em diferentes lugares. As equações nesta seção são dadas no Sistema Internacional de Unidades (SI). Outras unidades comumente usadas são as unidades gaussianas, baseado no sistema CGS de unidades, as unidades de Lorentz-Heaviside, usado principalmente em física de partículas e as unidades naturais, conhecidas também como unidades de Planck, usada em física teórica.

Nas equações abaixo, símbolos em negrito representam grandezas vetoriais, e símbolos em itálico representam grandezas escalares. As definições dos termos usados abaixo são dadas logo abaixo em tabelas a parte.

Tabela das equações "microscópicas"

Formulação em termos de carga e corrente totais

Nome	Forma diferencial	Forma integral
Lei de Gauss	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot \mathbf {\vec {E}} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$/ [G+ψ ω  / c]	${\displaystyle {\partial V}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q(V)}{\varepsilon _{0}}}}$
Lei de Gauss para o magnetismo	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot \mathbf {\vec {B}} =0}$/ [G+ψ ω  / c]	${\displaystyle {\partial V}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =0}$
Lei de Faraday da indução	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times \mathbf {\vec {E}} =-{\frac {\partial \mathbf {\vec {B}} }{\partial t}}}$/ [G+ψ ω  / c]	${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {\vec {E}} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\vec {l}} =-{\frac {\partial \Phi _{B,S}}{\partial t}}}$
Lei de Ampère (com a correção de Maxwell)	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times \mathbf {\vec {B}} =\mu _{0}\mathbf {\vec {J}} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {\vec {E}} }{\partial t}}\ }$/ [G+ψ ω  / c]	${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {\vec {B}} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\vec {l}} =\mu _{0}I_{S}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \Phi _{E,S}}{\partial t}}}$

Tabela das equações "macroscópicas"

Formulação em termos de carga e corrente "livres"

Nome	Forma diferencial	Forma integral
Lei de Gauss	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}}$/ [G+ψ ω  / c]	${\displaystyle {\partial V}}$ ${\displaystyle \mathbf {D} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =Q_{f}(V)}$
Lei de Gauss para o magnetismo	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$/ [G+ψ ω  / c]	${\displaystyle {\partial V}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =0}$
Lei de Faraday da indução	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$/ [G+ψ ω  / c]	${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-{\frac {\partial \Phi _{B,S}}{\partial t}}}$
Lei de Ampère (com a correção de Maxwell)	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$/ [G+ψ ω  / c]	${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =I_{f,S}+{\frac {\partial \Phi _{D,S}}{\partial t}}}$

Unidades gaussianas

As equações de Maxwell são dadas normalmente no Sistema Internacional de Unidades (SI). No sistema gaussiano de unidades, as equações tomam forma mais simétrica. Os termos em negrito representam vetores:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho }$/

 [G+ψ ω  / c]

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$/

 [G+ψ ω  / c]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$/

 [G+ψ ω  / c]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} }$/

 [G+ψ ω  / c]

Onde c é a velocidade da luz no vácuo. A simetria é mais aparente quando o campo eletromagnético é considerado no vácuo. As equações tomam a seguinte forma altamente simétrica:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0}$ 

 [G+ψ ω  / c]

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$/

 [G+ψ ω  / c]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$/

 [G+ψ ω  / c]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$/

 [G+ψ ω  / c]

A força exercida por um campo elétrico e um campo magnético sobre uma partícula carregada é dada pela equação da força de Lorentz:

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {B} \right),}$/

 [G+ψ ω  / c]

onde ${\displaystyle q\ }$ é a carga da partícula e ${\displaystyle \mathbf {v} \ }$ é a velocidade da partícula. Note que esta é levemente diferente da expressão do SI acima. Por exemplo, aqui o campo magnético${\displaystyle \mathbf {B} \ }$ tem as mesmas unidades do campo elétrico ${\displaystyle \mathbf {E} \ }$.

Em materiais lineares

Em materiais lineares, os campos D e H são relacionados a E e B por:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }$/

 [G+ψ ω  / c]

${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} }$/

 [G+ψ ω  / c]

nos quais:

ε é a constante dieléctrica ou permissividade elétrica.

μ é a permeabilidade magnética.

Isto pode ser estendido para materiais não-lineares, fazendo ε e μ dependentes da intensidade do campo. Por exemplo, o efeito Kerr, o efeito Pockels e materiais não-isotrópicos, ε e μ passam a ser tensores que mudam a direção do campo ao qual são aplicados.

Em meios isotrópicos e não dispersivos, ε e μ são escalares independentes do tempo, e as equações de Maxwell se reduzem a

${\displaystyle \nabla \cdot \varepsilon \mathbf {E} =\rho }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$/

 [G+ψ ω  / c]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B/\mu } =\mathbf {\mu J} +\varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$/

 [G+ψ ω  / c]

Em um meio uniforme, homogêneo, ε e μ são constantes independentes da posição, e podem portanto ser trocadas pelas derivadas espaciais.

De modo geral, ε e μ podem ser tensores de segunda ordem, descritos por matrizes 3×3, e descrevem materiais birrefringentes ou anisotrópicos.

Embora para muitos propósitos a dependência tempo/frequência destas constantes possa ser desprezada, todo material real exibe alguma dispersão material pela qual ε e/ou μ dependem da frequência, e a causalidade vincula esta dependência às relações de Kramers-Kronig.

Vácuo

O vácuo é um meio linear, homogêneo e isotrópico, e suas constantes elétricas são designadas por ε₀ e μ₀, desprezando-se pequenas não-linearidades devido a efeitos quânticos. Caso não haja presença de correntes ou cargas elétricas, obtêm-se as equações de Maxwell no vácuo:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$/

 [G+ψ ω  / c]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$/

 [G+ψ ω  / c]

Estas equações têm uma solução simples em termos de ondas progressivas planas senoidais, com as direções dos campos elétricos e magnéticos ortogonais um ao outro e à direção do deslocamento, e com os dois campos em fase:

${\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E} )-\nabla ^{2}\mathbf {E} =\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial \nabla \times \mathbf {B} }{\partial t}}}$/

 [G+ψ ω  / c]

${\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {B} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\nabla ^{2}\mathbf {B} =\nabla \times \left(\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \nabla \times \mathbf {E} }{\partial t}}}$/

 [G+ψ ω  / c]

Mas:

${\displaystyle 0-\nabla ^{2}\mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)}$/

 [G+ψ ω  / c]

${\displaystyle 0-\nabla ^{2}\mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)}$/

 [G+ψ ω  / c]

O que permite obter a equação da onda eletromagnética:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2}}}$/

 [G+ψ ω  / c]

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\partial ^{2}\mathbf {B} \over \partial t^{2}}}$/

 [G+ψ ω  / c]

De onde se obtém a velocidade da onda eletromagnética (c):

${\displaystyle v={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}}$/

 [G+ψ ω  / c]

Maxwell percebeu que essa quantidade "v" poderia estar relacionada à velocidade da luz no vácuo, e concluiu que a própria luz poderia ser uma forma de radiação eletromagnética, confirmada por Heinrich Hertz em 1888.

Detalhamento

Densidade de carga e campo elétrico

A forma integral equivalente (dada pelo teorema da divergência), também conhecida como lei de Gauss, é:

${\displaystyle Q_{\text{englobado}}=\int \!\!\!\int \!\!\!\int _{V}\rho dV}$/

 [G+ψ ω  / c]

pelo teorema da divergência:
${\displaystyle \int \!\!\!\int \!\!\!\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {D} dV=\int \!\!\!\oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} }$/ [G+ψ ω  / c]

e pela Lei de Gauss:

${\displaystyle \int \!\!\!\oint _{A}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =Q_{\text{englobado}}}$/

 [G+ψ ω  / c]

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${\displaystyle \int \!\!\!\oint _{A}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\int \!\!\!\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {D} dV}$/

 [G+ψ ω  / c]

onde ${\displaystyle d\mathbf {A} }$ é a área de um quadrado diferencial numa superfície fechada A com uma normal dirigida para fora definindo sua direção, e ${\displaystyle Q_{\text{englobado}}}$ é a carga livre abrangida pela superfície. portanto:

${\displaystyle \int \!\!\!\int \!\!\!\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {D} dV=\int \!\!\!\int \!\!\!\int _{V}\rho dV}$ logo ${\displaystyle \longrightarrow }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho }$,/

 [G+ψ ω  / c]

onde ${\displaystyle {\rho }}$ é a densidade volumétrica de carga elétrica livre (SI: C/m³), não incluindo dipolos de cargas ligadas no material, e ${\displaystyle \mathbf {D} }$ é a densidade superficial de carga elétrica (SI: C/m²). Esta equação corresponde à lei de Coulomb para cargas estacionárias no vácuo.

Em um material linear, ${\displaystyle \mathbf {D} }$ está diretamente relacionado ao campo elétrico ${\displaystyle \mathbf {E} }$ por meio de uma constante dependente do material chamada permissividade ${\displaystyle \epsilon }$:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }$./

 [G+ψ ω  / c]

Qualquer material pode ser tratado como linear, desde que o campo elétrico não seja extremamente intenso. A permissividade do espaço livre é referida como ${\displaystyle \epsilon _{0}}$, e aparece em:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{t}}{\varepsilon _{0}}}}$/

 [G+ψ ω  / c]

onde, novamente, ${\displaystyle \mathbf {E} }$ é o campo elétrico (SI: V/m), ${\displaystyle \rho _{t}}$ é densidade de carga total, incluindo as cargas ligadas, e ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ (aproximadamente 8,854 pF/m) é a permissividade do vácuo. ${\displaystyle \epsilon }$ também pode ser escrito como ${\displaystyle \varepsilon _{0}\cdot \varepsilon _{r}}$, onde ${\displaystyle \epsilon _{r}}$ é a permissividade relativa do material ou sua constante dieléctrica.

Estrutura do campo magnético

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$/

 [G+ψ ω  / c]

${\displaystyle \mathbf {B} }$ é a densidade de fluxo magnético (SI: tesla, T), também chamada a indução magnética.

A sua forma integral equivalente é:

${\displaystyle \int \!\!\!\oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0}$/

 [G+ψ ω  / c]

${\displaystyle d\mathbf {A} }$ é a área de um quadrado diferencial ${\displaystyle A}$ com uma normal superficial apontando para fora, definindo sua direção. Semelhantemente à forma integral do campo elétrico, esta equação funciona somente se a integral for calculada sobre uma superfície fechada.

Esta equação é relacionada à estrutura do campo magnético porque, dado o elemento de volume, a magnitude líquida dos componentes vectoriais que apontam para fora da superfície deve ser igual à magnitude dos componentes vectoriais que apontam para dentro. E, estruturalmente, isto significa que as linhas do campo magnético devem ser linhas ou trajetórias fechadas. Outra maneira de se afirmar isto é que as linhas de campo não podem se originar de outro lugar. Esta é a formulação matemática da hipótese de que não há monopolos magnéticos.

Campos magnéticos e elétricos variáveis

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$/

 [G+ψ ω  / c]

Usando a forma integral equivalente e usando o teorema de Stokes, temos:

${\displaystyle \oint _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =\int \!\!\!\int _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }$/

 [G+ψ ω  / c]

e como pela lei de Faraday :

${\displaystyle \oint _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-{\frac {\partial \Phi _{\mathbf {B} }}{\partial t}}}$ onde ${\displaystyle \Phi _{\mathbf {B} }=\int \!\!\!\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} }$

 [G+ψ ω  / c]

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${\displaystyle \oint _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =\int \!\!\!\int _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\int \!\!\!\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\int _{S}-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A} }$/

 [G+ψ ω  / c]

onde

Φ_B é o fluxo magnético através da área A descrita pela segunda equação

E é o campo elétrico gerado pelo fluxo magnético

c é um contorno fechado na qual a corrente é induzida, tal como um fio.

S é a superfície enlaçada pela curva c.

A força eletromotriz, algumas vezes denotada como ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ e não deve ser confundida com a permissividade acima, é igual ao valor desta integral. Esta lei corresponde à lei de Faraday de indução eletromagnética.

Esta equação relaciona os campos elétrico e magnético, mas isso também tem várias aplicações práticas. Esta equação descreve como motores elétricos e geradores elétricos trabalham. Especificamente, isto demonstra que a voltagem pode ser gerada pela variação do fluxo magnético passando através de uma dada área no tempo, tal como acontece com uma espira girando uniformemente através de um campo magnético fixado.

Em um motor ou gerador, a excitação fixa é fornecida pelo circuito de campo e a voltagem variável é medida pelo circuito da armadura. Em alguns tipos de motores/geradores, o circuito de campo é montado sobre o rotor e o circuito da armadura é montado sobre o estator, mas outros tipos de motores/geradores empregam a configuração contrária.

Fonte do campo magnético

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$/

 [G+ψ ω  / c]

onde H é a intensidade de campo magnético (SI: A/m), relacionado ao campo magnético B por uma constante chamada permeabilidade magnética μ (B = μH), e J é a densidade de corrente elétrica, definida por:${\displaystyle \mathbf {J} =\rho _{q}\mathbf {v} }$, onde v é o campo vetorial chamado de velocidade de arraste que descreve as velocidades de um portador de carga que tem uma densidade descrita pela função escalar ${\displaystyle \rho _{q}}$.

Utilizando o Teorema de Stokes temos:

${\displaystyle \oint _{c}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int \!\!\!\int _{S}\nabla \times \mathbf {H} \cdot d\mathbf {A} }$/

 [G+ψ ω  / c]

logo:

${\displaystyle \oint _{c}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int \!\!\!\int _{S}(\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}})\cdot d\mathbf {A} }$/

 [G+ψ ω  / c]

Lei de Ampere: ${\displaystyle \oint _{c}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int \!\!\!\int _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} =I_{\text{circulada}}}$/ [G+ψ ω  / c]

Complemento a Lei de Ampere, temos a contribuição de Maxwell: ${\displaystyle \int \!\!\!\int _{S}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A} }$/ [G+ψ ω  / c]

${\displaystyle \oint _{c}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =I_{\text{circulada}}+\int \!\!\!\int _{S}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A} }$

 [G+ψ ω  / c]

I_circulada é a corrente circulada pela curva c (a corrente através de qualquer superfície é definida pela equação:

${\displaystyle I_{\text{passa por S}}=\int \!\!\!\int _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} }$./ [G+ψ ω  / c]

No vácuo, a permeabilidade μ é a permeabilidade do espaço vazio, μ₀, que é definida como sendo exactamente 4π×10⁻⁷ W/A m. Também, a permissividade torna-se a permissividade ε₀. Portanto, no vácuo, a equação torna-se:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$/

 [G+ψ ω  / c]

Usando a forma integral equivalente:

${\displaystyle \oint _{c}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {l} =\int \!\!\!\int _{S}\nabla \times \mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\int _{S}(\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}})\cdot d\mathbf {A} =\mu _{0}I_{\text{circulada}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}\int \!\!\!\int _{S}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A} }$

/ [G+ψ ω  / c]

s é a aresta de uma superfície A, onde qualquer superfície com a curva s como sendo sua aresta deverá servir, e I_circulada é a corrente circulada pela curva s. A corrente através de qualquer superfície é definida pela equação: I_{através de A} =∫_AJ dA. Se a densidade de fluxo elétrico não variar muito rapidamente, o segundo termo do membro direito, o fluxo de deslocamento, é desprezível, e a equação se reduz à lei de Ampère.

Equações de Maxwell na relatividade especial

Na relatividade especial, para expressar mais claramente o fato de que as equações de Maxwell no vácuo tomam a mesma forma em todos os sistemas de coordenadas inerciais, as equações de Maxwell são escritas em termos de quadrivetores e quadritensores na forma manifestamente covariante:

${\displaystyle J^{\beta }=\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }\,\!}$,/

 [G+ψ ω  / c]

e

${\displaystyle 0=\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }\,\!}$/

 [G+ψ ω  / c]

onde J é a quadricorrente, F é o tensor intensidade de campo ou tensor de Faraday, escrito como uma matriz 4 × 4 , e ${\displaystyle \partial _{\alpha }=(\partial /\partial ct,\nabla )}$ é o quadrigradiente, tal que ${\displaystyle \partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }}$ é o operador d'Alembertiano. O α na primeira equação é implicitamente somado de acordo com a convenção da notação de Einstein. A primeira equação tensorial expressa as duas equações inomogêneas de Maxwell: lei de Gauss e a lei de Ampère com a correção de Maxwell. A segunda equação expressa as outras duas equações homogêneas: a lei de indução de Faraday e a ausência de monopólos magnéticos.

Mais explicitamente, J = (cρ, J), um vetor contravariante, em termos da densidade de carga ρ e a densidade de corrente J. Em termos de quadripotencial, como um vetor contravariante, ${\displaystyle {\tilde {A}}^{\alpha }=\left(\phi ,\mathbf {A} c\right)}$, onde φ é o potencial elétrico e A é o potencial vetor magnético pelo calibre de Lorentz ${\displaystyle \left(\partial _{\alpha }{\tilde {A}}^{\alpha }=0\right)}$, F pode ser expresso como:

${\displaystyle F^{\alpha \beta }=\partial ^{\alpha }{\tilde {A}}^{\beta }-\partial ^{\beta }{\tilde {A}}^{\alpha }\,\!}$/

 [G+ψ ω  / c]

o que conduz a uma matriz 4 × 4 (tensor de segunda ordem):

${\displaystyle F^{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right).}$/

 [G+ψ ω  / c]

O fato de que ambos os campos elétrico e magnético são combinados em um único tensor, que expressa que, de acordo com a relatividade, ambos os campos são diferentes aspectos da mesma coisa. E assim pela troca dos referenciais, o que parecia ser um campo elétrico em um referencial se afigura como um campo magnético em outro referencial, e vice-versa.

Note que diferentes autores algumas vezes empregam diferentes convenções de sinal para os tensores e quadrivetores, o que não afeta a interpretação física. Note também que F^αβ e F_αβ não são os mesmos: eles são as formas do tensor contravariante e covariante , relacionados pelo tensor métrico g. Na relatividade especial o tensor métrico introduz as mudanças de sinal em algumas componentes de F; dualidades métricas mais complexas são encontradas na relatividade geral.

Equações de Maxwell no vácuo

No vazio, onde não existem cargas nem correntes, podem ainda existir campos elétrico e magnético. Nesse caso, as quatro equações de Maxwell são:

${\displaystyle \Phi _{\mathrm {e} }({\text{Sup. fechada}})=0}$

${\displaystyle \Phi _{\mathrm {m} }({\text{Sup. fechada}})=0}$

${\displaystyle \oint _{\mathrm {C} }{\vec {E}}\cdot d{\vec {r}}=-{\frac {d\Phi _{\mathrm {m} }}{d_{t}}}}$

/ [G+ψ ω  / c]

${\displaystyle \oint _{\mathrm {C} }{\vec {B}}\cdot d{\vec {r}}={\frac {k_{\mathrm {m} }}{k}}\,{\frac {d\Phi _{\mathrm {e} }}{d_{t}}}}$

/ [G+ψ ω  / c]

O único parâmetro nessas equações é a constante ${\displaystyle k_{\mathrm {m} }/k}$. No sistema internacional de unidades, o valor dessa constante é:

${\displaystyle {\frac {k_{\mathrm {m} }}{k}}={\frac {10^{-7}\;\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} \cdot \mathrm {A} ^{-1}}{9\times 10^{9}\;\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} ^{2}\cdot \mathrm {C} ^{-2}}}={\frac {1}{9\times 10^{16}}}\;{\frac {\mathrm {s} ^{2}}{\mathrm {m} ^{2}}}}$/ [G+ψ ω  / c]

que é exatamente igual ao inverso do quadrado da velocidade da luz ${\displaystyle c=3\times 10^{8}\;\mathrm {m} /\mathrm {s} }$:

${\displaystyle {\frac {k_{\mathrm {m} }}{k}}={\frac {1}{c^{2}}}}$/ [G+ψ ω  / c]

Na época de Maxwell, meados do século XIX, a velocidade da luz já tinha sido medida com precisão dando exatamente o mesmo valor que acabamos de calcular a partir da constante de Coulomb e da constante magnética. Assim, Maxwell concluiu que a luz deveria ser uma onda eletromagnética, composta por campos elétrico e magnético que se propagam no espaço.^[8]

Formas diferenciais

No vácuo, onde ε e μ são constantes em toda parte, as equações de Maxwell simplificam-se consideravelmente uma vez que se use a linguagem da geometria diferencial e formas diferenciais. Com isso, os campos elétrico e magnético são conjuntamente descritos por uma 2-forma em um espaçotempo quadridimensional, a qual é usualmente chamada F. As equações de Maxwell então se reduzem à identidade de Bianchi

${\displaystyle d\mathbf {F} =0}$

onde d é a derivada exterior, e a equação fonte

${\displaystyle d*\mathbf {F} =*\mathbf {J} }$/

 [G+ψ ω  / c]

onde o asterisco * é a estrela de Hodge. Aqui, os campos são representados em unidades naturais onde ε₀ é 1. Aqui, J é a 1-forma, chamada de corrente elétrica, que satisfaz a equação da continuidade

${\displaystyle d*\mathbf {J} =0}$/

 [G+ψ ω  / c]